译文作者：豆浆，哆嗒数学网翻译组成员，数据剖析师。
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开普勒问题涉及一个质点在引力浸染下运动，就像是一个行星环绕太阳运动。牛顿证明了假设它不飞向无穷远，这种粒子的轨道是一个椭圆。有很多方法可以证明这一点，但最富于启示性的想法是将轨道想象成4维空间里的一个圆。当这个圆投射到3维空间上，它就会变成一个椭圆。
Greg Egan创建了上面的动画来展示这一过程。这个平面代表我们住的3维空间里的2维，垂直方向代表了第四维。一个点在R^4绕了一圈。但是将这个圆投射到R³，我们就会得到一个椭圆：行星的实际轨道。
什么是第四维？它与韶光有关，但不完备是韶光。它是常规韶光和一个韶光的重新参数化版本之间的差，该韶光的流逝速率与行星到太阳的间隔成反比。
动画利用了这个另类的韶光。相对付这个韶光，行星正在以恒定速率在4维空间上做圆周运动。但在普通韶光下，当它靠近太阳时，正如行星必须要做的，便是其在3维上的投影运动得更快。
至少从1980年以来物理学家们就知道了这个不雅观点，这得益于由数学物理学家Jürgen Moser写的一篇论文。这个故事的某些部分是老得多。许多论文也已经有写到，但这一次是特殊优雅：
Jesper Göransson，开普勒问题对称性，2015年3月8日。
关于描述行星运动的Göransson 4维空间的最好的事情是，它给出了一个惊人的事实，一个干净的阐明。你可以取任何椭圆轨道，施加一个4维空间的旋转，并得到另一个有效的轨道！
当然，我们可以在常日的3维路径下环绕太阳旋转一个椭圆轨道并得到另一椭圆轨道。有趣的是，我们还可以做4维旋转。这样可以使一个丰满的椭圆看起来瘦小：当我们将一个圆倾斜到第四维，它在3维空间的“影子”变得更瘦！
事实上，你可以通过这样的一个四维旋转把任何椭圆轨道变成任何其它具有相同能量的椭圆轨道。所有具有相同能量的椭圆轨道都是四维空间里在同一球面上的圆形轨道的投影！
让我们来看看更多关于数学方面的细节。
开普勒问题假设我们有一个质点在平方反比定律的浸染下运动。其运动方程为
个中R是它作为韶光函数的位置，r是从原点的间隔，m表示它的质量，而k是表示力有多强。由此我们可以得出能量守恒定律，如下
对付一些常数E，它依赖于粒子轨道，但不随韶光变革。
让我们考虑一个引力，因此k>0，而且是椭圆轨道，因此E<0。让我们把这个质点称作一个'行星'。这是一颗环绕太阳运行的行星，在这里我们把太阳看得非常重以至于它完美地保持固定在原点。
让我们把把稳力集中在一个具有单一固定能量E的轨道上.这可以让我们自由地选择质量，长度和韶光的单位
这将减少一堆凌乱的字母，使我们专注于关键的想法。如果您更希望看到技能细节方面的东西，那就去看看Göransson的论文吧。
现在运动方程变成了
能量守恒方程变成了
显然是由于Moser，这个伟大的想法是从普通的韶光观点切换到一种新的韶光观点！
我们将这个新的韶光叫做s，并哀求
你离太阳越远，这种新的韶光走得越慢。因此，当行星阔别太阳时，利用这种新的韶光会加快它的运动。如果这看起来是倒退的，思考一下吧。对付一个离太阳很远的行星，这个新韶光的一天可以即是普通韶光的一周。以是，利用新韶光来丈量，一个阔别太阳的行星可以运行一天，而这常日须要一周的韶光。
当它阔别太阳时，这填补了行星运行得很慢的正常方向。事实上，用这种新的韶光，当行星离太阳最远和最近的时候，它运行得一样快。
随着这新的韶光观点，令人惊奇的事情发生了！
为了看到这一点，首先利用这一新韶光观点改写能量守恒定律。沿用牛顿的暗号，我们一贯在利用点表示普通韶光的导数。让我们利用上撇符号(′)来表示相对付s的导数。因此，例如，我们有
和
利用这种新的韶光导数，Göransson证明能量守恒可以写成
这是4维空间的一个球面方程！
稍后我们就会明白为什么能量守恒定律可以这样写。首先让我们来谈谈这意味着什么。要理解它，我们该当把普通的韶光坐标t和空间坐标（X，Y，Z）平等看待。点(t,x,y,z)随着参数s的变革在4维空间移动。我们现在看到这个点的速率，即是v=(t′,x′,y′,z′)
在4维空间里的一个球面上移动。它因此点(1,0,0,0)为中央的半径为1的球面
在进一步的打算之后，我们可以得到一些其他精彩的事实：
和
这些是谐振子的普通方程，但加入了一个额外的导数。
这些事实证明如下。首先，让我们思考一下他们意味着什么。我们可以按如下解释用笔墨表达这些事实：4维的速率v进行了关于点（1,0,0,0）的简谐运动。
那很俊秀。但由于v还勾留在以这个点为中央的单位球面上，我们可以得出更好的结论：v必须以恒定的速率沿着这个球面一个大圆移动！
这意味着4维速率的空间分量的均值为0，而t分量的均值为1。
这里的第一部分有很大的意义：地球永久不会从太阳漂移得更远，以是它的均匀速率必须为零。第二部分是有点奇妙，但它也有道理：普通韶光t关于新的韶光参数s以均匀速率1向前移动，但其变革率是正弦振荡的。
如果我们对方程R'''=-R 的两边积分，我们会得到
对付某个常数矢量a。这便是说位置R关于一个点a谐波振荡。由于a不随韶光变革，这是一个守恒量：它被称为龙格 - 楞次矢量。
人们常常从平方反比力定律入手，证明角动量和龙格 - 楞次矢量是守恒的，并利用这6个守恒量和诺特定理证明存在一个6维对称群。对付具有负能量的解，这正是4维空间的旋转群，SO(4)。随着越来越多的事情，我们可以看到开普勒问题是如何与在4维空间的谐振子干系的。这样做涉及到重新参数化韶光。
在很多方面来说，我更喜好Göransson的做法，由于它坚持从重新参数化韶光入手。这让他更有效地证明，行星的椭圆轨道是四维空间中的圆轨道在三维空间的投影。四维旋转对称性是那么明显！
实际上Göransson在n维空间里用平方反比定律进行论证;这没有更困难。n维的椭圆形轨道是n +1维圆形轨道的投射。角动量是n维的二重向量;它与龙格-楞次矢量一起形成在n + 1个维的二重向量。这是与这个问题的第（n+ 1）维的旋转对称干系联的守恒量。
他还证明了对付正能量的双曲线形轨道和零能量的抛物线形轨道也有类似的结论。双曲线的情形下有洛仑兹群对称性，而零能量的情形下有欧几里德群对称性！
这是已知的，但很高兴地看到Göransson的打算是如何轻松地处理所有这三种情形。
用矢量微积分检讨所有这统统是一个大略的练习，但它须要一些事情，以是让我在这里做了一些。仍旧会有细节留待补充，我希望你可以试一试。
请记住，我们的韶光重新参数化给出了
个中上撇符号(′)代表d / ds。因此，我们可以从能量守恒入手：
并且利用
（译者注：原文可能有误，根据上文，这里该当是
）
得到
利用一点代数知识给出
这证明了4维速率v=（t’，x’，y’，z’）在中央为（1，0，0，0）的单位球上。
下一步便是取运动方程
并采取上撇符号(′)（s的导数），而不是点（t的导数）重写。我们先从
并再次微分得到
接下来，我们其他的方程为R''给出了
或者
因此有
为了走得更远，这也是为了给R''得出一个很好的公式。首先我们打算
然后再微分
给R''代入公式，会涌现一些精彩的相消，我们得到
但我们还可以做得更好！
记住了，能量守恒有
而且我们知道t'=r .因此,
和
以是，我们知道
由于 ，如预期的给出了
下一步让我们给 得到一个类似的公式。我们先从
入手，然后两边微分，得到
然后给r''和R''代入我们的公式。 涌现了一些真正的神奇的相消，然后我们如预期得到
公式两边积分，我们就得到了
对付一些固定的矢量a，龙格 - 楞次矢量。这是说R进行了关于a的谐波运动。这是相称了不起的，R和它的范数r都进行了谐波运动。
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